Мои приветствия!

На данном уроке мне бы хотелось рассмотреть основные элементы комбинаторики и решение задач по комбинаторике.

Данная статья будет полезна как обычному школьнику, который только начинает знакомство с комбинаторикой, а также тем кто готовиться к ОГЭ и ЕГЭ по математике.

Здесь рассмотрим основные понятия по комбинаторике, что такое перестановка  и сочетание элементов, а также рассмотрим примеры решения некоторых задач. 

комбинаторика

Элементы комбинаторики

Факториал, определение и применение его в задачах

Задача 1. Сколькими способами 6 человек могут занять очередь в железнодорожную кассу?

Решение: Первым может быть любой из шести человек (6 способов), вторым может быть любой из пяти человек (пять способов), четверым любой из оставшихся четырех (4 способа), и т.д. В результате получаем: 6·5·4·3·2·1=720 — это и есть общее количество всех способов, которыми могут шесть человек образовать очередь.

Добавим немного теории и рассмотрим что такое факториал:

Произведение подряд идущих первых  n натуральных чисел называют «эн факториал». Обозначают n!=n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1.

Задача 2. Вычислите:   \frac{9!}{6!}

Решение: Распишем числитель как 9·8·7·6!, тогда получается:

\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6!}{6!}={504}

Задача 3. Решите уравнение:   \frac{(n-2)!}{n!}+\frac{(n-1)!}{(n+1)!}=\frac{1}{4}

Решение: Распишем знаменатель первой дроби как n!=n·(n-1)·(n-2)!, а знаменатель второй дроби (n+1)!=(n+1)·n·(n-1)!, тогда получается:

\frac{(n-2)!}{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)!}+\frac{(n-1)!}{(n+1)\cdot n\cdot(n-1)!}=\frac{1}{4}

\frac{1}{n\cdot(n-1)}+\frac{1}{(n+1)\cdot n}=\frac{1}{4}

\frac{n+1+n-1}{n\cdot(n-1)\cdot(n+1)}=\frac{1}{4}

\frac{2n}{n\cdot(n-1)\cdot(n+1)}=\frac{1}{4}

\frac{2}{(n-1)\cdot(n+1)}=\frac{1}{4}

\frac{8-n^{2}+1}{(n^{2}-1)}={0}

{n=3, n=-3}

Ответ : n=3. (n=-3 не подходит, так как N={1, 2, 3, 4, …}

Размещения и сочетания в комбинаторике

Разберем что такое размещения в комбинаторике

Число размещений из n элементов по k обозначается символом A_{n}^{k} и вычисляется по формуле

A_{n}^{k}={n(n-1)\cdots [n-(k-1)]}

Задача 1. Сколькими способами из восьми кандидатов можно выбрать три лица на три должности?

Решение: A_{8}^{3}={8\cdot 7\cdot 6}={336}

Число всех способов выбрать k элементов из n данных элементов без учета порядка называют числом сочетаний из n элементов по k и обозначают C_{n}^{k}.

C_{n}^{k}=\frac{n!} {(n-k)!\cdot k!}

Задача 2. Из бригады, состоящей из 21 человека, необходимо послать на профсоюзную конференцию трех человек. Сколько вариантов такого выбора есть?

Решение: Так как здесь рассматривается неупорядоченное множество, т.е. о числе сочетаний C_{3}^{21}, то

C_{3}^{21}=\frac{21!} {18!\cdot 3!}={1330}